11.1 精通自定义 View 之 Matrix 与坐标变换——矩阵运算

返回自定义 View 目录

11.1.1 矩阵的加法和减法

1. 运算规则

$$设矩阵 A=\left[ \begin{matrix} a~11~ & a~12~ & \cdots & a~1n~ \\ a~21~ & a~22~ & \cdots & a~2n~ \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a~n1~ & a~n2~ & \cdots & a~nn~ \end{matrix} \right]$$ $$设矩阵 B=\left[ \begin{matrix} b~11~ & b~12~ & \cdots & b~1n~ \\ b~21~ & b~22~ & \cdots & b~2n~ \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b~n1~ & b~n2~ & \cdots & b~nn~ \end{matrix} \right]$$ $$则 A±B=\left[ \begin{matrix} a~11~ ± b~11~ & a~12~ ± b~12~ & \cdots & a~1n ± ~b~1n~ \\ a~21~ ± b~21~ & a~22~ ± b~22~ & \cdots & a~2n ± ~b~2n~ \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a~n1~ ± b~n1~ & a~n2~ ± b~n2~ & \cdots & a~nn ± ~b~nn~ \end{matrix} \right]$$

简而言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减。

注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵(同型矩阵)，加减法运算才有意义,即 加减法运算是可行的。

2. 运算性质

满足交换律和结合律。
交换律：A+B=B+A。
结合律：(A+B)+C= A+(B+C)。

11.1.2 矩阵与数的乘法

1. 运算规则

数 λ 乘以矩阵 A，就是将数 λ 乘以矩阵 A 中的每一个元素，记为 λA 或 Aλ。
特别地，称-A 为 A=(a~ij~)~m×s~ 的负矩阵。

2. 运算性质

满足结合律和分配律。
结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA。
分配律：λ (A+B)=λA+λB。

11.1.3 矩阵与矩阵的乘法

1. 运算规则

矩阵乘法其实并不难，它的意思就是将第一个矩阵 A 的第一行与第二个矩阵 B 的第一列的数字分别相乘，得到的结果相加，最终的值作为结果矩阵的第(1,1)位置的值(第一行第一列)。

同样，A 矩阵的第一行与 B 矩阵的第二列的数字分别相乘，然后相加，最终的值作为结果矩阵第(1,2)位置的值(第一行第二列)。

再如，A 矩阵的第二行与 B 矩阵的第一列的数字分别相乘，然后相加，最终的值作为结果矩阵的第(2,1)位置的值(第二行第一列)。

这里主要说明两个问题：

• A 矩阵的列数必须与 B 矩阵的行数相同，才能相乘。因为我们需要把 A 矩阵一行中的各个数字与 B 矩阵一列中的各个数字分别相乘，所以 A 矩阵的列数与 B 矩阵的行数必须相同。
• 矩阵 A 乘以矩阵 B 和矩阵 B 乘以矩阵 A 的结果必然是不一样的。

2. 运算性质

1）结合律：(AB)C=A(BC)。
2）分配律：A(B±C)=AB±AC(左分配律)；(B±C)A=BA±CA(右分配律)。
3）(λA)B=λ(AB)=A(λB)。